Paralelogramo
Un paralelogramo es un cuadrilátero con dos pares de lados paralelos, con lados opuestos iguales y ángulos opuestos iguales.
Formula
\text{Area} = \text{base} \times \text{height}
Definition
Un paralelogramo es una figura de cuatro lados donde ambos pares de lados opuestos son paralelos e iguales en longitud, con los ángulos opuestos también iguales; los ángulos consecutivos son suplementarios y las diagonales se bisecan mutuamente. Área $=$ base $\times$ altura, usando la altura perpendicular entre los lados paralelos, no la longitud del lado inclinado. Con los lados adyacentes como vectores $u$ y $v$, el área es $|u \times v|$, las diagonales son $u+v$ y $u-v$, y la ley del paralelogramo establece que $|d_1|^2+|d_2|^2 = 2(|u|^2+|v|^2)$.
Example
Una pila inclinada de libros o el rombo (diamante) en un campo de béisbol tiene forma de paralelogramo; un rectángulo es un paralelogramo especial con esquinas de ángulo recto. Con base $10$, lado inclinado $8$, y altura $6$: área $=10\times6=60$, no $10\times8$. Para $u=(3,0)$ y $v=(1,4)$: área $=|3\cdot4-0\cdot1|=12$, diagonales $u+v=(4,4)$ con longitud $4\sqrt{2}$ y $u-v=(2,-4)$ con longitud $2\sqrt{5}$, y $32+20=52=2(9+17)$, confirmando la ley del paralelogramo.
Key Insight
La fórmula del área funciona porque un paralelogramo puede reorganizarse en un rectángulo con la misma base y altura moviendo un triángulo rectángulo de un extremo al otro, una demostración visual de que el área se conserva a pesar del cambio de forma. La ley del paralelogramo caracteriza los espacios con producto interno: un espacio normado tiene un producto punto si y solo si se cumple la ley del paralelogramo en él, una identidad algebraica con raíces en esta simple relación entre diagonales y lados, y el grupo de simetría de un paralelogramo general es solo $\mathbb{Z}_2$ (una rotación de $180^\circ$).