原点
yuán diǎn
原点是坐标平面上x轴与y轴相交的点(0, 0)。
Definition
原点是x轴与y轴相交的点 $(0, 0)$，是测量其他所有点的距离和方向所依据的"地址"。它是向量空间 $\mathbb{R}^2$ 的加法单位元，即零向量 $0$，也是加法群 $(\mathbb{R}^2, +)$ 的单位元：任何向量与它相加都不变，它也是所有以它为中心的位似变换的不动点，所以以原点为中心的位似变换只是把坐标乘以缩放因子，$(x, y) \mapsto (kx, ky)$。在射影几何中，原点失去了它的特殊地位，因为在射影变换下所有点都是等价的；在复分析中，$z = 0$ 往往是像 $1/z$ 这样的函数的临界点或奇点。
Example
如果在纸上画一个坐标网格，原点就是两条线相交的正中间那个点，其他每一个点都用相对这里的距离和方向来描述。把点 $(3, 0)$ 绕原点逆时针旋转 $90$ 度得到 $(0, 3)$，以原点为中心按因子 $2$ 缩放会把 $(3, 4)$ 映射到 $(6, 8)$。线性映射 $T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ 恒满足 $T(0) = 0$：线性映射恒固定原点，而仿射映射（线性映射加上平移）则不一定固定原点。
Key Insight
原点就像地图上的地址 $(0, 0)$：其他一切都用相对于这个中心点的距离和方向来描述。线性变换与仿射变换之间的区别，是否固定原点，在图形学、机器人学和物理学中是根本性的，因为改变原点（平移）可以利用对称性来简化问题。