Origen
El origen es el punto (0, 0) donde se cruzan el eje x y el eje y en el plano cartesiano.
Definition
El origen es el punto $(0, 0)$ donde se cruzan el eje x y el eje y, la "dirección" desde la cual se mide todo otro punto por distancia y dirección. Es el elemento identidad aditivo del espacio vectorial $\mathbb{R}^2$, el vector cero $0$ y elemento identidad del grupo aditivo $(\mathbb{R}^2, +)$: cualquier vector sumado a él permanece sin cambios, y es el punto fijo de todas las dilataciones centradas en él, por lo que una dilatación con centro en el origen simplemente multiplica las coordenadas por el factor de escala, $(x, y) \mapsto (kx, ky)$. En geometría proyectiva el origen pierde su estatus especial, ya que todos los puntos se vuelven equivalentes bajo transformaciones proyectivas, y en análisis complejo $z = 0$ suele ser un punto crítico o una singularidad de funciones como $1/z$.
Example
Si dibujas una cuadrícula de coordenadas en papel, el origen es el punto justo en el medio donde se encuentran las dos rectas, y cada otro punto se describe por su distancia y dirección desde ahí. Rotar el punto $(3, 0)$ $90$ grados en sentido antihorario alrededor del origen da $(0, 3)$, y escalar desde el origen por un factor de $2$ envía $(3, 4)$ a $(6, 8)$. Una aplicación lineal $T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ siempre satisface $T(0) = 0$: las aplicaciones lineales siempre fijan el origen, mientras que las aplicaciones afines (aplicaciones lineales más una traslación) no necesariamente lo fijan.
Key Insight
El origen es como la dirección $(0, 0)$ en un mapa: todo lo demás se describe por su distancia y dirección desde este punto central. La distinción entre transformaciones lineales y afines, si el origen queda fijo o no, es fundamental en gráficos por computadora, robótica y física, ya que cambiar el origen (una traslación) puede simplificar problemas al aprovechar la simetría.