相反数
xiāng fǎn shù
一个数的相反数是数轴上与零距离相同但位于另一侧的数，即加法逆元。
Formula
\text{opposite of } a = -a; \ a + (-a) = 0
Definition
一个数的相反数是数轴上位于零的另一侧、与该数距离相等的数；一个数与它的相反数相加永远得零。形式上，$a$ 的相反数（加法逆元）是 $-a$，由 $a + (-a) = 0$ 定义，关于零与 $a$ 对称，且绝对值相等，并满足双重负号法则 $-(-a) = a$。在任意阿贝尔群 $(G, +)$ 中，$a$ 的加法逆元是唯一满足 $a + (-a) = 0$（单位元）的元素 $-a$，其存在性是群公理之一；在环中，加法逆元满足 $(-a)(-b) = ab$，这可以由分配律推导出来。
Example
$5$ 的相反数是 $-5$；$-3$ 的相反数是 $3$；$0$ 的相反数是 $0$；且 $5 + (-5) = 0$。化简 $-(-(-3))$：$-(-(-3)) = -(3) = -3$，因为记号"$-a$"并不意味着 $a$ 本身是负数，若 $a = -5$，则 $-a = -(-5) = 5$。在 $\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$ 中，$3$ 的相反数是 $4$（因为 $3 + 4 = 7 \equiv 0 \pmod 7$），在 $2\times2$ 可逆矩阵群中，矩阵 $A$ 的加法逆元是 $-A$。
Key Insight
相反数相加总是得零，就像天平两边完全平衡的砝码。负号的意思是"相反"，负数的相反数是正数。加法逆元的存在把群与幺半群区分开来：给正整数添加加法逆元就得到整数，再给非零元素添加乘法逆元就得到有理数，这一连串的扩张正是从零开始构造数轴的过程。