Número Opuesto
El opuesto de un número es el número que está a la misma distancia del cero en la recta numérica pero al otro lado; es el inverso aditivo.
Formula
\text{opposite of } a = -a; \ a + (-a) = 0
Definition
El opuesto de un número es el número al otro lado del cero en la recta numérica, a la misma distancia; sumar un número y su opuesto siempre da cero. Formalmente, el opuesto (inverso aditivo) de $a$ es $-a$, definido por $a + (-a) = 0$, simétrico a $a$ respecto al cero y con el mismo valor absoluto, y satisfaciendo la ley del doble negativo $-(-a) = a$. En cualquier grupo abeliano $(G, +)$, el inverso aditivo de $a$ es el único elemento $-a$ tal que $a + (-a) = 0$ (la identidad), cuya existencia es uno de los axiomas de grupo, y en un anillo el inverso aditivo satisface $(-a)(-b) = ab$, derivable de la ley distributiva.
Example
El opuesto de $5$ es $-5$; el opuesto de $-3$ es $3$; el opuesto de $0$ es $0$; y $5 + (-5) = 0$. Simplifica $-(-(-3))$: $-(-(-3)) = -(3) = -3$, ya que la notación "$-a$" no significa que $a$ sea negativo, si $a = -5$ entonces $-a = -(-5) = 5$. En $\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$, el opuesto de $3$ es $4$ (ya que $3 + 4 = 7 \equiv 0 \pmod 7$), y en el grupo de matrices $2\times2$ invertibles, el inverso aditivo de la matriz $A$ es $-A$.
Key Insight
Los opuestos siempre suman cero, como pesas perfectamente equilibradas a ambos lados de una balanza. El signo negativo significa "opuesto", y el opuesto de un negativo es positivo. La existencia de inversos aditivos distingue a los grupos de los monoides: añadir inversos a los números naturales da los enteros, y añadir inversos multiplicativos (para elementos distintos de cero) da los racionales, una cadena de extensiones que es la construcción de la recta numérica desde cero.