Enunciado Abierto
Un enunciado abierto es un enunciado matemático que contiene una o más variables y que no es verdadero ni falso hasta que se sustituyen valores específicos por las variables.
Definition
Un enunciado abierto es un enunciado matemático con una variable que todavía no es verdadero ni falso; una vez que sustituyes un número, se vuelve verdadero o falso. Se llama "abierto" porque la pregunta sigue abierta, como una pregunta sin responder que espera el valor correcto para cerrarla, y los valores que lo hacen verdadero forman el conjunto solución. El contraste es con un enunciado cerrado, un enunciado que simplemente es verdadero o falso por sí solo, como "$5 + 3 = 8$". En lógica formal, un enunciado abierto (o fórmula abierta) es una fórmula bien formada que contiene al menos una variable libre; no es una proposición, la cual debe tener un valor de verdad fijo, pero se convierte en una al ligar todas las variables libres con cuantificadores o al sustituir valores, así que resolver una ecuación equivale a encontrar una valuación que cierre la fórmula a "verdadero".
Example
$x + 3 = 10$ es un enunciado abierto: es verdadero cuando $x = 7$ y falso cuando $x = 4$. $2x - 1 > 5$ es una desigualdad abierta, verdadera para todo $x > 3$ y falsa en otro caso, así que su conjunto solución es $\{x : x > 3\}$. La fórmula $P(x)$: $x^2 = 4$ es abierta; cerrarla mediante cuantificación universal da "para todo $x$, $x^2 = 4$" (falso), mientras que cerrarla mediante cuantificación existencial da "existe un $x$ tal que $x^2 = 4$" (verdadero, con $x = 2$ o $x = -2$).
Key Insight
La distinción entre fórmulas abiertas y cerradas es fundamental para la lógica de predicados y la teoría de modelos, y la noción de "variable libre" es lo que separa las ecuaciones algebraicas de las proposiciones lógicas.