一元方程
yī yuán fāng chéng
一元方程只含有一个未知量，求解后可以得到该变量的一个确定值（或有限多个值）。
Definition
一元方程只含有一个未知字母（变量），求解它就能准确知道这个字母等于什么；一旦解出，谜团就彻底揭晓了。一元方程的解集是有限的：一元一次方程（一次）恰好有一个解，一元二次方程（二次）最多有两个解。更一般地，$\mathbb{R}$ 上 $n$ 次一元多项式方程 $p(x) = 0$ 最多有 $n$ 个实根，在 $\mathbb{C}$ 上恰好有 $n$ 个根（计重数，代数基本定理）；求解方法因次数而异，直到 $4$ 次都存在求根公式（二次、三次、四次求根公式），但伽罗瓦理论证明 $5$ 次及以上不存在通用的代数求根公式。
Example
$3x + 7 = 19$ 只有一个变量 $x$，求解得到 $x = 4$。一次方程：$5x - 3 = 12$ 得到 $x = 3$。二次方程：$x^2 = 16$ 得到 $x = 4$ 或 $x = -4$，共两个解。一般二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 用求根公式 $x = (-b \pm \sqrt{b^2-4ac})/(2a)$ 求解，其中判别式 $b^2 - 4ac$ 决定了根的性质：为正得到两个不同实根，为零得到一个重根，为负得到两个复根。
Key Insight
一元意味着一个未知数；解的个数取决于方程的次数，因为 $n$ 次多项式方程最多有 $n$ 个实数解，在复数范围内恰好有 $n$ 个解（计重数）。19 世纪初证明的阿贝尔-鲁菲尼定理表明，$5$ 次及以上的多项式方程不存在通用的代数（根式）解法，这是抽象代数发展中的一个分水岭事件，并催生了伽罗瓦理论。