一一函数（单射函数）
yī yī hán shù (dān shè hán shù)
一一函数是指每一个输出值都恰好对应唯一一个输入值的函数。
Definition
一一函数是一类特殊的函数，其中没有两个不同的输入会给出相同的输出，即每一个输出都是唯一的。严格地说，函数 $f$ 是一一的（单射的），如果对定义域中所有的 $a, b$，$f(a) = f(b)$ 都能推出 $a = b$；从图像上看，它通过水平线检验，即每一条水平线与图像至多相交一次。更一般地，对于 $f: A \to B$，单射性意味着 $A$ 中不同的元素映射到 $B$ 中不同的元素，对有限集合而言，这意味着 $|A| \le |B|$。
Example
$f(x) = 2x$ 是一一函数，因为不同的输入总是给出不同的输出；但 $f(x) = x^2$ 不是，因为 $f(3) = 9$ 且 $f(-3) = 9$。对于 $f(x) = 3x - 5$：若 $f(a) = f(b)$，则 $3a - 5 = 3b - 5$，从而 $a = b$，证实它是一一函数；若把 $f(x) = x^2$ 的定义域限制为 $x \ge 0$，它就变成一一函数。由 $f(n) = 2n$ 定义的函数 $f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ 是单射的，但不是满射到 $\mathbb{Z}$ 的（其像仅由偶数组成），两个单射的复合仍然是单射。
Key Insight
一一函数是唯一能够被一个反函数完美"撤销"的函数：如果两个输入可能产生相同的输出，这个过程就无法被唯一地逆转，因此把一个非一一函数的定义域加以限制（如对 $f(x) = x^2$ 的标准做法）常常是构造反函数的方式。单射性、满射性与双射性构成了集合论中函数分类的基础，两个集合之间存在双射，就证明了它们具有相同的基数，即使对无穷集合也是如此。