Función Uno a Uno
Una función uno a uno es una función en la que cada valor de salida corresponde a exactamente un valor de entrada.
Definition
Una función uno a uno (inyectiva) es un tipo especial de función donde dos entradas distintas nunca dan la misma salida, cada salida es única. Formalmente, una función $f$ es uno a uno (inyectiva) si $f(a) = f(b)$ implica $a = b$ para todo $a, b$ en el dominio, y gráficamente pasa la prueba de la línea horizontal ya que toda línea horizontal cruza la gráfica a lo sumo una vez. De manera más general, para $f: A \to B$, la inyectividad significa que elementos distintos de $A$ se envían a elementos distintos de $B$, lo cual implica $|A| \le |B|$ para conjuntos finitos.
Example
$f(x) = 2x$ es uno a uno ya que entradas distintas siempre dan salidas distintas, pero $f(x) = x^2$ no lo es, ya que $f(3) = 9$ y $f(-3) = 9$. Para $f(x) = 3x - 5$: si $f(a) = f(b)$ entonces $3a - 5 = 3b - 5$, así que $a = b$, confirmando que es uno a uno; $f(x) = x^2$ se vuelve uno a uno si se restringe a $x \ge 0$. La función $f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ definida por $f(n) = 2n$ es inyectiva pero no sobreyectiva sobre $\mathbb{Z}$ (solo los enteros pares forman la imagen), y la composición de dos inyecciones es a su vez una inyección.
Key Insight
Las funciones uno a uno son las únicas que pueden deshacerse perfectamente con una inversa: si dos entradas pudieran producir la misma salida, el proceso no podría revertirse de manera única, así que restringir el dominio de una función que no es uno a uno (como es práctica estándar con $f(x) = x^2$) suele ser la manera de crear una inversa. La inyectividad, la sobreyectividad y la biyectividad forman la clasificación fundamental de las funciones en teoría de conjuntos, y una biyección entre dos conjuntos prueba que tienen la misma cardinalidad, incluso para conjuntos infinitos.