单侧极限
dān cè jí xiàn
单侧极限只考察从一个方向,左侧或右侧,逼近某点时函数趋近的值。
Formula
\lim_{x \to a^-} f(x) \text{ and } \lim_{x \to a^+} f(x)
Definition
单侧极限考察的是：仅从一侧（左侧，较小的数；或右侧，较大的数）逼近某点时，函数趋向的值是什么。左极限 $\lim_{x \to a^-} f(x) = L$ 表示当 $x$ 从小于 $a$ 的方向趋近 $a$ 时，$f(x)$ 趋近 $L$；右极限 $\lim_{x \to a^+} f(x) = M$ 表示 $x$ 从上方趋近。严格地说，$\lim_{x \to a^-} f(x) = L$ 意味着对任意 $\epsilon > 0$，都存在 $\delta > 0$，使得 $a - \delta < x < a$ 蕴含 $|f(x) - L| < \epsilon$，右侧的定义类似。双侧极限存在当且仅当两个单侧极限相等，函数在 $a$ 处连续当且仅当两个单侧极限都等于 $f(a)$。
Example
想象一个悬崖边：从左边走近它，你在接近一个陡降；从右边走近，你面对的是开阔的空气，所以从哪一侧靠近，看到的情形就不同。对于 $f(x) = |x|/x$，当 $x \to 0$ 时左极限是 $-1$，右极限是 $+1$；由于两者不相等，$\lim_{x \to 0} f(x)$ 不存在。取整函数 $\lfloor x \rfloor$ 展示了同样的道理：$\lim_{x \to 2^-} \lfloor x \rfloor = 1$，而 $\lim_{x \to 2^+} \lfloor x \rfloor = 2$，这正是由不相等的单侧极限精确刻画的跳跃间断。
Key Insight
有时函数在某点两侧的表现并不相同，所以分别检验两侧才能了解全貌；比较单侧极限是判断图形在断点或转折处是否存在双侧极限的标准方法。单侧极限在分布分析、拉普拉斯变换以及分段定义的微分方程中同样至关重要，因为在这些场合中，定义域边界往往具有实际的物理意义。