Límite Lateral
Un límite lateral observa a qué valor se aproxima una función desde una sola dirección, ya sea por la izquierda o por la derecha.
Formula
\lim_{x \to a^-} f(x) \text{ and } \lim_{x \to a^+} f(x)
Definition
Un límite lateral comprueba hacia dónde se dirige una función al acercarse a un punto desde un solo lado, ya sea por la izquierda (números menores) o por la derecha (números mayores). El límite por la izquierda $\lim_{x \to a^-} f(x) = L$ significa que $f(x)$ se aproxima a $L$ cuando $x$ se acerca a $a$ a través de valores menores que $a$; el límite por la derecha $\lim_{x \to a^+} f(x) = M$ significa que $x$ se aproxima desde arriba. Formalmente, $\lim_{x \to a^-} f(x) = L$ si para todo $\epsilon > 0$ existe $\delta > 0$ tal que $a - \delta < x < a$ implica $|f(x) - L| < \epsilon$, con el enunciado análogo por la derecha. El límite bilateral existe solo si ambos límites laterales son iguales, y una función es continua en $a$ si y solo si ambos límites laterales son iguales a $f(a)$.
Example
Piensa en el borde de un acantilado: caminando hacia él desde la izquierda, te acercas a una caída; caminando desde la derecha, te acercas por aire abierto, así que la vista difiere según el lado desde el que llegues. Para $f(x) = |x|/x$, el límite por la izquierda cuando $x \to 0$ es $-1$ y el límite por la derecha es $+1$; como difieren, $\lim_{x \to 0} f(x)$ no existe. La función piso $\lfloor x \rfloor$ muestra la misma idea: $\lim_{x \to 2^-} \lfloor x \rfloor = 1$ mientras que $\lim_{x \to 2^+} \lfloor x \rfloor = 2$, una discontinuidad de salto caracterizada precisamente por límites laterales desiguales.
Key Insight
A veces una función se comporta de manera distinta a cada lado de un punto, así que revisar ambos lados por separado cuenta toda la historia, y comparar límites laterales es la técnica estándar para determinar si existe un límite bilateral en una ruptura o esquina de una gráfica. Los límites laterales también son esenciales en el análisis de distribuciones, las transformadas de Laplace y las ecuaciones diferenciales definidas por partes, donde los límites del dominio tienen significado físico.