奇数
jī shù
奇数是任何不能被2整除的整数，如1、3、5、7和9。
Formula
n = 2k + 1 \text{ for some integer } k
Definition
奇数是任何不能被 $2$ 整除的整数，末位总是 $1$、$3$、$5$、$7$ 或 $9$。形式上，若存在整数 $k$ 使得 $n = 2k + 1$，则整数 $n$ 是奇数，等价地即 $n \bmod 2 = 1$；两个奇数的积永远是奇数，两个奇数的和永远是偶数，$1$ 是奇数。从代数角度看，奇整数就是 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 中陪集 $1 + 2\mathbb{Z}$ 的任一元素：奇数在加法下不封闭，但在乘法下封闭，许多数论结果（二次互反律、勒让德符号、二元二次型）都对质数 $2$ 与奇质数分别给出不同的表述。
Example
$7$、$13$、$35$ 和 $101$ 都是奇数，因为 $7 / 2 = 3$ 余 $1$。奇 $\times$ 奇 = 奇（$3\times5=15$），奇 + 奇 = 偶（$3+5=8$），奇 $\times$ 偶 = 偶（$3\times4=12$），前 $n$ 个奇数之和等于 $n^2$（$1+3+5+7 = 16 = 4^2$）。费马大定理需要针对 $n=4$（费马本人）和奇质数指数（怀尔斯）分别给出证明，这反映出数学中常常把质数 $2$ 当作特殊情形来处理。
Key Insight
如果你把所有物体两两配对，总会剩下一个，那么总数就是奇数。前 $n$ 个奇数之和等于 $n^2$ 这一事实有一个漂亮的直观证明：每个连续的奇数都为一个不断增大的点阵正方形添加了一个 L 形的"曲尺"。$2$ 作为唯一的偶质数，在质数中扮演着特殊角色，这也是数论中出现大量情形讨论和特殊条件的一个重要原因。