Número Impar
Un número impar es cualquier entero que no es divisible entre 2, como 1, 3, 5, 7, y 9.
Formula
n = 2k + 1 \text{ for some integer } k
Definition
Un número impar es cualquier número cabal que no se puede dividir entre $2$ de manera exacta, terminando siempre en $1$, $3$, $5$, $7$, o $9$. Formalmente, un entero $n$ es impar si $n = 2k + 1$ para algún entero $k$, equivalentemente si $n \bmod 2 = 1$; el producto de dos números impares siempre es impar, mientras que la suma de dos números impares siempre es par, y $1$ es impar. Algebraicamente, un entero impar es cualquier elemento de la clase lateral $1 + 2\mathbb{Z}$ en $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$: los impares no son cerrados bajo la suma pero sí bajo la multiplicación, y muchos resultados de teoría de números (la reciprocidad cuadrática, el símbolo de Legendre, las formas cuadráticas binarias) tienen enunciados separados para el primo $2$ frente a los primos impares.
Example
$7$, $13$, $35$, y $101$ son impares, ya que $7 / 2 = 3$ residuo $1$. Impar $\times$ Impar = Impar ($3\times5=15$), Impar + Impar = Par ($3+5=8$), Impar $\times$ Par = Par ($3\times4=12$), y la suma de los primeros $n$ números impares es igual a $n^2$ ($1+3+5+7 = 16 = 4^2$). El Último Teorema de Fermat necesitó demostraciones separadas para $n=4$ (Fermat) y para exponentes primos impares (Wiles), reflejando cuán a menudo las matemáticas tratan al primo $2$ como un caso especial.
Key Insight
Si intentas emparejar todos los objetos y siempre sobra uno, el total es impar. Que la suma de los primeros $n$ números impares sea igual a $n^2$ tiene una hermosa demostración visual: cada número impar sucesivo añade un "gnomon" en forma de L a un cuadrado de puntos en crecimiento. El papel especial del $2$ entre los primos, siendo el único par, explica una porción desproporcionada de casos especiales y condiciones particulares a lo largo de la teoría de números.