八边形
bā biān xíng
八边形是有八条边的多边形，其八个内角之和为 1080 度。
Formula
\text{Interior angle sum} = 1080^\circ; \text{each regular angle} = 135^\circ
Definition
八边形是有八条边和八个角的多边形，其角之和为 $1080^\circ$($=(8-2)\times180$)；正八边形每个角为 $135^\circ$，有 $20$ 条对角线，可以通过从正方形的每个角切下相等的等腰直角三角形来构造。它的顶点位于 $\{e^{i\pi k/4}:k=0,\ldots,7\}$($8$ 次单位根)，对称群是 $16$ 阶的 $D_8$，面积 $=2(1+\sqrt{2})s^2$；它不是柏拉图立体的面(那些只使用三角形、正方形和五边形)，但出现在截角立方体和截角八面体中。
Example
停车让行标志是正八边形；切掉正方形四个角会得到类似八边形的形状。对于边长 $s=1$：面积 $=2+2\sqrt{2}\approx4.83$，外角 $=45^\circ$。如果边长为 $a$ 的正方形从每个角切下等腰直角三角形，直角边长为 $x$，那么 $s=a-2x$，$x=s/\sqrt{2}$，得到 $a=s(1+\sqrt{2})$，因此 $s=a/(1+\sqrt{2})=a(\sqrt{2}-1)$。
Key Insight
前缀 "octa-" 在希腊语中意为八(如章鱼 octopus)，正八边形看起来像一个角被切平的圆，每个内角 $135^\circ$ 恰好位于正方形的 $90^\circ$ 和一条直线 $180^\circ$ 之间。由于 $3\times135=405^\circ$ 超过了 $360^\circ$，正八边形无法单独铺满平面，但八边形与正方形一起可以("截角正方形镶嵌")，这种图案出现在伊斯兰几何艺术和现代建筑中。