Octágono
Un octágono es un polígono con ocho lados y ocho ángulos interiores que suman 1080 grados.
Formula
\text{Interior angle sum} = 1080^\circ; \text{each regular angle} = 135^\circ
Definition
Un octágono es un polígono de ocho lados y ocho esquinas, cuyos ángulos suman $1080^\circ$ ($=(8-2)\times180$); un octágono regular tiene cada ángulo $135^\circ$, $20$ diagonales, y puede formarse cortando triángulos rectángulos isósceles iguales de las esquinas de un cuadrado. Sus vértices se ubican en $\{e^{i\pi k/4}:k=0,\ldots,7\}$ ($8$ raíces de la unidad), grupo de simetría $D_8$ de orden $16$, área $=2(1+\sqrt{2})s^2$; no es una cara de un sólido platónico (esos usan solo triángulos, cuadrados y pentágonos) pero aparece en el cubo truncado y el octaedro truncado.
Example
Una señal de alto es un octágono regular; cortar las esquinas de un cuadrado produce una forma parecida a un octágono. Para el lado $s=1$: área $=2+2\sqrt{2}\approx4.83$, ángulo exterior $=45^\circ$. Si un cuadrado de lado $a$ tiene catetos triangulares rectos iguales $x$ cortados de cada esquina, entonces $s=a-2x$ con $x=s/\sqrt{2}$, dando $a=s(1+\sqrt{2})$, así que $s=a/(1+\sqrt{2})=a(\sqrt{2}-1)$.
Key Insight
El prefijo "octa-" significa ocho en griego (como en pulpo, "octópodo"), y un octágono regular se parece a un círculo con sus esquinas cortadas al ras, cada ángulo interior de $135^\circ$ ubicado a mitad de camino entre el $90^\circ$ de un cuadrado y el $180^\circ$ de una línea plana. Como $3\times135=405^\circ$ excede $360^\circ$, un octágono regular no puede teselar el plano por sí solo, pero los octágonos y cuadrados juntos sí (el "teselado cuadrado truncado"), un patrón que aparece en el arte geométrico islámico y la arquitectura moderna.