钝角三角形
dùn jiǎo sān jiǎo xíng
钝角三角形有一个内角大于 90 度。
Formula
a^2 + b^2 < c^2 \text{ (where } c \text{ is the longest side)}
Definition
钝角三角形有一个角大于 $90^\circ$；只能有一个角是钝角，因为三个角之和必须为 $180^\circ$，两个超过 $90^\circ$ 的角就已经超过这个总和了。对于边 $a, b, c$(其中 $c$ 最长)，三角形是钝角三角形，当且仅当 $c^2 > a^2+b^2$(等价地，该角的 $\cos\theta < 0$)，其外心和垂心都位于三角形外部，在钝角顶点对面最长边的另一侧。
Example
角度为 $120^\circ$、$30^\circ$、$30^\circ$ 的三角形是钝角三角形，因为 $120>90$；一个非常扁平、宽阔的三角形通常在其最宽处有一个钝角。对于边长 $5, 5, 9$：$9^2=81$ 而 $5^2+5^2=50$，由于 $81>50$，该三角形是钝角三角形，$\cos C = (25+25-81)/50 = -31/50$，得到 $C\approx128^\circ$。对于边长 $4, 5, 8$：$c^2=64$ 超过 $a^2+b^2=41$，$\cos C=(16+25-64)/40=-23/40$，所以 $C\approx125.1^\circ$。
Key Insight
一个三角形最多只能有一个钝角，因为两个超过 $90^\circ$ 的角之和就已经超过 $180^\circ$。在钝角三角形中，从钝角顶点出发的高落在三角形外部，即底边的延长线上，这就是为什么构造垂心有时需要延长边。在三角形模空间中，钝角、直角与锐角三角形被曲线 $a^2+b^2=c^2$ 分隔开，而钝角三角形在该空间中实际占据的比例比锐角三角形更大。