Triángulo Obtusángulo
Un triángulo obtusángulo tiene un ángulo interior que mide más de 90 grados.
Formula
a^2 + b^2 < c^2 \text{ (where } c \text{ is the longest side)}
Definition
Un triángulo obtusángulo tiene un ángulo mayor de $90^\circ$; solo un ángulo puede ser obtuso, ya que los tres ángulos deben sumar $180^\circ$ y dos ángulos mayores de $90^\circ$ ya excederían eso. Para lados $a, b, c$ con $c$ el más largo, el triángulo es obtusángulo si y solo si $c^2 > a^2+b^2$ (equivalentemente $\cos\theta < 0$ para ese ángulo), y tanto el circuncentro como el ortocentro quedan fuera del triángulo, en el lado opuesto del lado más largo respecto al vértice obtuso.
Example
Un triángulo con ángulos $120^\circ$, $30^\circ$ y $30^\circ$ es obtusángulo porque $120>90$; un triángulo muy plano y ancho típicamente tiene un ángulo obtuso en su punto más ancho. Para lados $5, 5, 9$: $9^2=81$ frente a $5^2+5^2=50$, y como $81>50$ el triángulo es obtusángulo, con $\cos C = (25+25-81)/50 = -31/50$, dando $C\approx128^\circ$. Para lados $4, 5, 8$: $c^2=64$ excede $a^2+b^2=41$, y $\cos C=(16+25-64)/40=-23/40$, así que $C\approx125.1^\circ$.
Key Insight
Un triángulo puede tener a lo sumo un ángulo obtuso, ya que dos ángulos mayores de $90^\circ$ ya sumarían más de $180^\circ$. En un triángulo obtusángulo, la altura desde el vértice obtuso cae fuera del triángulo, en la extensión de la base, razón por la cual construir el ortocentro a veces requiere extender los lados. En el espacio de módulos de triángulos, los triángulos obtusángulos, rectángulos y acutángulos están separados por la curva $a^2+b^2=c^2$, y los obtusángulos en realidad ocupan una proporción mayor de ese espacio que los acutángulos.