钝角
dùn jiǎo
钝角是度数大于 90 度且小于 180 度的角。
Formula
90 < \text{angle} < 180^\circ
Definition
钝角比直角大，但比平角小，度数严格介于 $90^\circ$ 和 $180^\circ$ 之间($\pi/2 < \theta < \pi$ 弧度)；钝角看起来宽阔而张开，就像躺椅向后倾斜超过 $90^\circ$。一个三角形最多只能有一个钝角，因为三个角之和必须为 $180^\circ$，而与边 $c$ 相对的角 $C$ 是钝角，当且仅当 $c^2 > a^2 + b^2$，等价地 $\cos C < 0$；用向量来说，$u$ 和 $v$ 构成钝角恰好发生在 $u \cdot v < 0$ 时。
Example
$120^\circ$ 角是钝角，10点钟方向时钟指针之间较大的角也是钝角。在一个角度分别为 $30$、$50$、$100$ 度的三角形中，$100^\circ$ 角是钝角，使其成为钝角三角形；$110^\circ$ 钝角的补角是 $70^\circ$(锐角)。对于边长 $3, 5, 7$：由于 $49 > 9+25=34$，与长度为 $7$ 的边相对的角是钝角。
Key Insight
"钝"字意为迟钝或不锋利，与锐角尖锐、有棱角的外观相反。在任何钝角三角形中，与钝角相对的边是最长的边，余弦定理给出的值大于 $a^2+b^2$，正是因为当 $C$ 为钝角时 $\cos C < 0$。向量点积的符号可以立即将两向量间的角分类为锐角(正)、直角(零)或钝角(负)，这种代数判别法在许多证明中取代了角度计算，并且在优化和机器学习中(例如检验梯度方向)至关重要。