Ángulo Obtuso
Un ángulo obtuso es un ángulo que mide más de 90 grados y menos de 180 grados.
Formula
90 < \text{angle} < 180^\circ
Definition
Un ángulo obtuso es más grande que un ángulo recto pero más pequeño que una línea recta, y mide estrictamente entre $90^\circ$ y $180^\circ$ ($\pi/2 < \theta < \pi$ radianes); los ángulos obtusos se ven amplios y abiertos, como una silla reclinable inclinada hacia atrás más allá de $90^\circ$. Un triángulo puede contener a lo sumo un ángulo obtuso, ya que los tres ángulos deben sumar $180^\circ$, y el ángulo $C$ opuesto al lado $c$ es obtuso si y solo si $c^2 > a^2 + b^2$, equivalentemente $\cos C < 0$; en términos vectoriales, $u$ y $v$ forman un ángulo obtuso exactamente cuando $u \cdot v < 0$.
Example
Un ángulo de $120^\circ$ es obtuso, al igual que el ángulo mayor entre las manecillas de un reloj a las 10 en punto. En un triángulo con ángulos de $30$, $50$ y $100$ grados, el ángulo de $100^\circ$ es obtuso, lo que lo convierte en un triángulo obtusángulo; el suplemento de un ángulo obtuso de $110^\circ$ es $70^\circ$ (agudo). Para lados $3, 5, 7$: como $49 > 9+25=34$, el ángulo opuesto al lado de longitud $7$ es obtuso.
Key Insight
La palabra "obtuso" significa opaco o romo, lo opuesto a la apariencia afilada y puntiaguda de los ángulos agudos. En cualquier triángulo obtusángulo, el lado opuesto al ángulo obtuso es el más largo, y la ley de cosenos da un valor mayor que $a^2+b^2$ precisamente porque $\cos C < 0$ cuando $C$ es obtuso. El signo del producto punto clasifica de inmediato un ángulo entre vectores como agudo (positivo), recto (cero) u obtuso (negativo), una prueba algebraica que reemplaza el cálculo de ángulos en muchas demostraciones y es fundamental en optimización y aprendizaje automático, como al verificar direcciones de gradiente.