数值表达式
shù zhí biǎo dá shì
数值表达式是由数和运算符号组成、表示单一值但不含等号或不等号的数学短语。
Definition
数值表达式是由数和运算符号组成的数学短语；它有一个值，但不含等号。它由数与一种或多种运算（加、减、乘、除、乘方、开方）以及分组符号（圆括号、方括号）组合而成，对它求值就是运用运算顺序找出它唯一的值。在形式语言理论中，数值表达式是算术语言中的一个"项"，按照形式语言的语法规则，由常量、变量（如果存在）和函数符号构造而成；项表示论域中的元素，而句子（等式或不等式）表示真值，对一个项求值就是从项代数到目标结构的一个同态映射。
Example
$4 + 3$、$12/6 - 1$ 和 $5 \times (2+3)$ 都是数值表达式，每一个都能求得一个单一的数值。求值 $3^2 + (4 \times 5) - 8/2 = 9 + 20 - 4 = 25$：先算乘方（$3^2=9$），再算括号（$4\times5=20$），然后是除法（$8/2=4$），最后从左到右做加减法。表达式 $2^{(3+1)} \cdot (5-2)$ 是一个"项"，其求值树给出 $3+1=4$，$2^4=16$，$5-2=3$，$16\cdot3=48$；计算机代数系统正是以这种树的形式来表示符号表达式，从而实现精确运算与符号处理。
Key Insight
数值表达式就像一个等待答案的问题：对它求值，就是找出它的值。按照运算顺序求值时，每个数值表达式都有唯一确定的值，而运算顺序存在的意义正是为了保证这一点。表达式树是所有计算机代数系统、编译器和解释器背后的数据结构：CPU 执行的每一次算术运算都对应于对表达式树中一个节点求值，这使得这一概念在数学和计算机科学中都具有基础性地位。