数码
shù mǎ
数码是用来表示一个数的符号或符号组合，例如“7”、“VII”或“seven”。
Definition
数码是我们用来表示数的书写符号：数本身是一个抽象概念，而数码则是我们将这个概念写下来的方式。记数系统包括印度、阿拉伯记数系统（我们标准的 $0$-$9$ 数字），它是位值制的；还有罗马记数系统（I、V、X、L、C、D、M），它是加法/减法制且非位值制的。形式上，数码是在以某个基数 $b$ 建立的记数系统中的一个表达式，用多项式值 $\sum d_k \cdot b^k$ 将 $n$ 表示为有限或无限的数字串；数（抽象对象）与其数码（句法表示）之间的区别在数理逻辑和计算机科学中十分重要。
Example
数码"$5$"、罗马数码"V"和单词"five"都表示同一个数，只是书写方式不同；同样，四十七既可以写成 $47$（印度、阿拉伯记数法），也可以写成 XLVII（罗马记数法）、$101111$（二进制）或 $2F$（十六进制）。在皮亚诺算术中，每个正整数都有一个标准数码：$0$、$S(0)$、$S(S(0))$，依此类推，而我们常用的数码 $0, 1, 2, \ldots$ 正是这些表达式的简写。
Key Insight
数是一个抽象概念（"五"这个概念本身），而数码是我们用来书写它的符号，因此同一个数可以有许多不同的数码。位值制的印度、阿拉伯记数系统经由阿拉伯数学家传入欧洲，之所以取代了罗马记数法，正是因为在位值制下，像长乘法这样的运算要容易得多。哥德尔编码将这一思想更进一步，为形式系统中的每一个公式分配一个唯一的数码，使系统能够"谈论"自身的句法，这一技巧是哥德尔不完备定理证明的核心。