Desigualdad No Estricta
Una desigualdad no estricta usa $\le$ o $\ge$ para mostrar que una cantidad es menor o igual, o mayor o igual que otra, incluyendo la posibilidad de igualdad.
Definition
Una desigualdad no estricta usa $\le$ (menor o igual que) o $\ge$ (mayor o igual que), y el valor límite SÍ está incluido en la solución: en una recta numérica se dibuja un círculo relleno (sólido) en ese valor, y en notación de intervalos el límite incluido se muestra con un corchete. Formalmente, en un cuerpo ordenado, $a \le b$ significa que $a < b$ o $a = b$, equivalentemente $b - a \ge 0$; las desigualdades no estrictas definen conjuntos cerrados en la topología estándar sobre $\mathbb{R}$, y en optimización, las restricciones de la forma $g(x) \le 0$ definen regiones factibles cerradas. La compacidad, que requiere ser cerrado en $\mathbb{R}^n$, es la propiedad que garantiza que existan máximos y mínimos, razón por la cual los problemas de optimización suelen usar restricciones con $\le$.
Example
$x \ge 5$ significa que $x$ puede ser $5$, $6$, $7$, o cualquier número igual o mayor que $5$, dibujado con un círculo relleno en $5$. $x \le 7$ tiene la solución $(-\infty, 7]$, que incluye a $7$; un ejemplo de la vida real es un límite de velocidad de $65$ mph, que significa $x \le 65$, donde conducir a exactamente $65$ está permitido. El disco unitario cerrado $\{(x, y) : x^2 + y^2 \le 1\}$ es un subconjunto compacto y cerrado de $\mathbb{R}^2$ definido por una desigualdad no estricta, y según el Teorema del Valor Extremo, cualquier función continua sobre él alcanza un máximo y un mínimo.
Key Insight
La parte de "o igual a" es la diferencia clave con una desigualdad estricta, ya que permite que el valor límite forme parte de la solución; muchas restricciones de la vida real (edad mínima, carga máxima, puntajes calificatorios) usan desigualdades no estrictas porque cumplir exactamente con el límite es aceptable, y es precisamente esta cerrazón la que garantiza que los problemas de optimización tengan soluciones.