立体图形的展开图
lì tǐ tú xíng de zhǎn kāi tú
立体图形的展开图是一种平面二维图案，沿边折叠后可以拼成该三维立体图形。
Definition
展开图是把一个三维图形展开铺平后的样子：由若干多边形沿边连接组成的二维图案，折叠后可以无重叠地拼成封闭的立体图形，立体图形的表面积等于其展开图的面积。每个多面体至少有一个展开图，尽管复杂多面体的展开图可能很难找到；正方体在 $35$ 种可能的六联骨牌排列中，有 $11$ 种是有效的展开图。严格地说，展开图是多面体的一种边展开，由曲面对偶图的一棵生成树（被切开的边）确定，其余的边构成折线；谢泼德在1975年提出猜想，认为每个凸多面体都至少有一个不重叠的展开图，但这一猜想至今在一般情形下仍未被证明，而非凸多面体则可能根本没有不重叠的有效展开图。
Example
如果沿着一个箱子的某些边剪开并展平，就会得到一个十字形的平面硬纸板，即展开图；正方体的展开图有 $6$ 个正方形沿边相连，经典的"加号"十字形是 $11$ 种有效排列中最常见的一种。直角边为 $3$ 和 $4$ cm（斜边 $5$ cm）、长度为 $8$ cm 的三棱柱展开图，面积为 $2(1/2)(3)(4) + 3(8) + 4(8) + 5(8) = 12 + 24 + 32 + 40 = 108$ cm$^2$。一个正二十面体（$20$ 个三角形面）有 $43{,}380$ 种不同的展开图，对于大型多面体来说这使得穷举计算量巨大。
Key Insight
展开图用来通过简单地把所有平面图形的面积相加来计算表面积，包装设计师则用它们来规划如何从平整的纸板中裁切出箱子和纸盒。确定一个图形的哪些面排列方式能正确折叠，是计算折纸学研究的一个组合问题；由埃里克·德梅因等研究者提出的折叠-剪切定理指出，任何直线图形都可以通过把纸张平整折叠再做一次直线剪切来得到，这是一个令人惊讶且具有深刻几何内涵的结果。