Red de un Sólido
La red de un sólido es un patrón plano 2D que puede doblarse a lo largo de sus bordes para formar el sólido 3D.
Definition
Una red es cómo se ve una figura 3D cuando se desdobla y se extiende plana: un patrón bidimensional de polígonos unidos a lo largo de aristas que, al plegarse, forma el sólido cerrado sin superposiciones, y el área de superficie del sólido es igual al área de su red. Todo poliedro tiene al menos una red, aunque las redes de poliedros complejos pueden ser difíciles de hallar; un cubo tiene $11$ redes válidas de los $35$ posibles arreglos de hexaminós. Formalmente, una red es un desdoblado por aristas de un poliedro, determinado por un árbol de expansión del grafo dual de la superficie (las aristas de corte), con las aristas restantes formando líneas de pliegue; se conjetura (Shephard, 1975) que todo poliedro convexo tiene al menos una red sin superposiciones, pero esto permanece sin demostrar en general, y los poliedros no convexos pueden no tener ninguna red válida sin superposiciones.
Example
Si cortas a lo largo de algunas aristas de una caja y la desdoblas, obtienes una pieza plana en forma de cruz de cartón, la red; la red de un cubo tiene $6$ cuadrados unidos borde a borde, y la clásica cruz en forma de "signo más" es la más común de los $11$ arreglos válidos. Una red de prisma triangular con catetos $3$ y $4$ cm (hipotenusa $5$ cm) y longitud $8$ cm tiene área de red $= 2(1/2)(3)(4) + 3(8) + 4(8) + 5(8) = 12 + 24 + 32 + 40 = 108$ cm$^2$. Un icosaedro regular ($20$ caras triangulares) tiene $43{,}380$ redes distintas, haciendo la enumeración computacionalmente intensiva para poliedros grandes.
Key Insight
Las redes se usan para calcular el área de superficie simplemente sumando las áreas de todas las figuras planas, y los diseñadores de empaques las usan para planear cómo se cortarán cajas y cartones de hojas planas. Determinar qué arreglos de las caras de una figura se pliegan correctamente es un problema combinatorio estudiado en origami computacional; el teorema de plegado y corte, desarrollado por investigadores como Erik Demaine, establece que cualquier figura de líneas rectas puede crearse plegando papel de manera plana y haciendo un solo corte recto, un resultado sorprendente con un contenido geométrico profundo.