Pendiente Negativa
Una pendiente negativa significa que una línea baja de izquierda a derecha en una gráfica, indicando que a medida que x aumenta, y disminuye.
Formula
m < 0
Definition
Una línea tiene pendiente negativa cuando baja de izquierda a derecha, es decir, $y$ disminuye a medida que $x$ aumenta; formalmente $m < 0$, y cuanto más negativo sea $m$, más pronunciado será el descenso (una pendiente de $-1$ crea un ángulo descendente de $45$ grados). Esto significa que $f(x) = mx + b$ es estrictamente decreciente en $\mathbb{R}$, con $f'(x) = m < 0$ en todas partes, y la línea forma un ángulo obtuso con el eje x positivo, $90^\circ < \theta < 180^\circ$, donde $\tan\theta = m < 0$. Dado que las líneas perpendiculares tienen pendientes $m$ y $-1/m$, una línea con pendiente negativa siempre tiene una perpendicular con pendiente positiva.
Example
$y = -3x + 6$ baja $3$ por cada $1$ a la derecha, de $(0,6)$ a $(1,3)$. $y = -0.5x + 4$ desciende suavemente ($1$ hacia abajo por cada $2$ a la derecha), mientras que $y = -5x + 10$ desciende abruptamente ($5$ hacia abajo por cada $1$ a la derecha). Una pendiente de $m = -2$ da $\theta = \arctan(-2) \approx 116.57^\circ$, y su perpendicular tiene pendiente $1/2$, con $(-2)(1/2) = -1$ confirmando la perpendicularidad.
Key Insight
Una pendiente negativa se parece a una diagonal invertida \, como bajar una colina mientras caminas hacia la derecha, e indica una relación inversa entre variables: cuando la temperatura baja, los costos de calefacción suben; cuando la velocidad aumenta en un viaje con combustible limitado, el alcance disminuye. Una función lineal estrictamente decreciente también es invertible, y su inversa tiene pendiente $1/m$ (también negativa); nota que $m \cdot (1/m) = 1$, no $-1$, así que una línea y su inversa (reflejada sobre $y = x$) generalmente no son perpendiculares entre sí.