负相关
fù xiāng guān
负相关是指当一个变量增大时，另一个变量倾向于减小。
Definition
负相关意味着两个事物倾向于朝相反方向变化：当一个上升时，另一个倾向于下降。当相关系数 r 介于 -1 和 0 之间时存在负相关，接近 -1 的值表示强负线性关系，接近 0 表示弱负线性关系，负相关数据的最佳拟合线斜率为负。形式上，负相关对应于负的协方差：$\text{Cov}(X,Y) < 0$；在投资组合理论中，负相关的资产能降低整体投资组合的方差，因为 $\text{Var}(aX+bY) = a^2\text{Var}(X) + b^2\text{Var}(Y) + 2ab\,\text{Cov}(X,Y)$，当 $\text{Cov}(X,Y) < 0$ 时，组合资产能将总方差降到低于各资产方差的加权平均值。
Example
随着缺勤次数增加，测验成绩往往下降，这是一种负相关，在散点图上看起来像点从左到右向下漂移，就像一段下坡路。大多数商品的价格和需求量呈负相关（$r \approx -0.6$ 到 $-0.9$）：价格上涨时，消费者往往购买更少，这就是经济学中的需求定律。黄金价格与股票收益率历史上呈弱负相关，将黄金纳入股票投资组合能降低方差，改善风险收益权衡（夏普比率），这正是分散投资的数学基础。
Key Insight
完全负相关（$r = -1$）意味着知道一个变量就能通过斜率为负的线性方程精确得知另一个变量，尽管现实世界中很少有关系如此精确。柯西-施瓦茨不等式保证 $-1 \le \rho \le 1$：$|\text{Cov}(X,Y)| \le \sigma_X \sigma_Y$，只有当 $X$ 和 $Y$ 完全线性相关时（$Y = aX+b$，且当 $\rho = -1$ 时 $a < 0$）才取等号。