正整数
zhèng zhěng shù
正整数是用于计数和排序的正的计数数（1、2、3……）。
Definition
本词条中的正整数是我们计数时使用的数：$1$、$2$、$3$、$4$、$5$，依此类推，从 $1$ 开始并无限延续。形式上，$\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots\}$ 表示正整数集，在加法和乘法下封闭；许多教材反而用 $\mathbb{N}$ 表示 $\{0, 1, 2, \ldots\}$，在需要排除 $0$ 时写作 $\mathbb{N}^+$ 或 $\mathbb{Z}^+$。正整数也可以用皮亚诺公理从最基本的原理构造出来：存在一个首元素（$1$ 或 $0$），且每个元素都有唯一的后继元素，加法与乘法都通过后继函数递归定义。
Example
数一个班级里的学生人数，$1, 2, 3, \ldots, 28$，每一个数目都是正整数，任意两个正整数的和或积也必定是正整数，例如 $7 + 12 = 19$ 或 $4 \times 9 = 36$，但减法和除法可能会超出这个集合（$3 - 5 = -2$，$7 / 2 = 3.5$）。根据算术基本定理，每个大于 $1$ 的正整数要么是质数，要么可以唯一地分解为若干质数的乘积。强归纳法的证明完全在 $\mathbb{N}$ 内进行：要证明所有 $n$ 都满足 $P(n)$，先证明 $P(1)$ 成立，再证明若所有 $k < n$ 都满足 $P(k)$，则 $P(n)$ 也成立。
Key Insight
之所以称为"自然"，是因为计数是人类使用数字时最自然不过的行为，早于我们发明的所有其他数系。克罗内克的名言道出了这种层级关系："上帝创造了整数，其余都是人的创造。"正整数是构建其他一切数系（$\mathbb{Z}$、$\mathbb{Q}$、$\mathbb{R}$、$\mathbb{C}$）的基础，在范畴论中，由此得到的结构是半环范畴中的初始对象。