Número Natural
Un número natural es un número de conteo positivo (1, 2, 3, ...) que se usa para contar y ordenar objetos.
Definition
Los números naturales son los números que usas al contar: $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, y así sucesivamente, comenzando en $1$ y continuando para siempre. Formalmente, $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots\}$ denota los enteros positivos, cerrados bajo la suma y la multiplicación; muchos libros de texto usan en cambio $\mathbb{N}$ para referirse a $\{0, 1, 2, \ldots\}$, escribiendo $\mathbb{N}^+$ o $\mathbb{Z}^+$ cuando se excluye el $0$. Los números naturales también pueden construirse desde primeros principios usando los axiomas de Peano: existe un primer elemento ($1$ o $0$), y todo elemento tiene un sucesor único, con la suma y la multiplicación definidas recursivamente a partir de la función sucesor.
Example
Al contar estudiantes en una clase, $1, 2, 3, \ldots, 28$, cada conteo es un número natural, y la suma o el producto de dos naturales siempre es un número natural, como $7 + 12 = 19$ o $4 \times 9 = 36$, aunque la resta y la división pueden salir del conjunto ($3 - 5 = -2$, $7 / 2 = 3.5$). Por el Teorema Fundamental de la Aritmética, todo número natural mayor que $1$ es primo o un producto único de primos. La demostración por inducción fuerte vive enteramente en $\mathbb{N}$: para probar $P(n)$ para todo $n$, se muestra que $P(1)$ se cumple, y luego que si $P(k)$ se cumple para todo $k < n$, entonces se cumple para $n$.
Key Insight
Se llaman "naturales" porque contar es lo más natural que los humanos hacemos con los números, antes que todos los demás tipos de números que inventamos. La célebre frase de Kronecker capta esta jerarquía: "Dios hizo los números enteros; todo lo demás es obra del hombre." Los naturales son el fundamento sobre el cual se construyen todos los demás sistemas numéricos ($\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$), y en la teoría de categorías la estructura resultante es el objeto inicial entre los semianillos.