自然对数
zì rán duì shù
自然对数记作 ln(x),是以 e(约等于 2.718)为底的对数,是自然指数函数的反函数。
Formula
\ln(x) = \log_e(x)
Definition
自然对数，写作 $\ln$，是以特殊底数 $e \approx 2.718$ 为底的对数：$\ln(x) = \log_e(x)$ 回答"$e$ 的多少次方能得到 $x$？"，是 $e^x$ 的反函数，定义域为 $x > 0$，值域为全体实数。它满足 $\ln(xy) = \ln(x) + \ln(y)$、$\ln(x/y) = \ln(x) - \ln(y)$、$\ln(x^r) = r\ln(x)$、$\ln(e) = 1$ 以及 $\ln(1) = 0$。在分析学中，$\ln(x) = \int_1^x (1/t)\,dt$（$x > 0$），满足 $d/dx[\ln(x)] = 1/x$，是把 $1$ 映射到 $0$ 的 $1/x$ 的唯一原函数；它的复数延拓是 $\text{Ln}(z) = \ln|z| + i\,\text{Arg}(z)$，对除非正实数以外的 $z \in \mathbb{C}$ 成立。
Example
$\ln(e) = 1$，因为 $e^1 = e$；$\ln(e^3) = 3$；$\ln(1) = 0$，因为 $e^0 = 1$。要解 $e^{2x} = 10$，对两边取 $\ln$：$2x = \ln(10) \approx 2.303$，所以 $x \approx 1.151$；求 $8\%$ 连续增长率的倍增时间，得 $T_d = \ln(2)/0.08 \approx 8.66$ 年。斯特林近似 $n! \approx \sqrt{2\pi n} \cdot (n/e)^n$，取自然对数后变为 $\ln(n!) \approx n\ln(n) - n + (1/2)\ln(2\pi n)$，这是利用 $\ln(n!) = \sum \ln(k) \approx \int_1^n \ln(t)\,dt$ 推导出来的。
Key Insight
数 $e$ 是使微积分最简洁的底数，自然对数之所以在科学中不断出现，是因为 $\ln(x)$ 的导数就是简单的 $1/x$，是最简洁的结果；它出现在连续复利、指数增长与衰减、信息论中的熵，以及像对数正态分布这样的概率分布公式中。自然对数之所以"自然"，是因为它是唯一在 $1$ 处导数等于 $1$ 的对数：所有其他对数都与它相差一个常数缩放因子 $\ln(b)$，这正是它在分析学中成为标准选择的原因。