Logaritmo Natural
El logaritmo natural, escrito ln(x), es el logaritmo con base e (aproximadamente 2.718) y es la inversa de la función exponencial natural.
Formula
\ln(x) = \log_e(x)
Definition
El logaritmo natural, escrito $\ln$, es un logaritmo con la base especial $e \approx 2.718$: $\ln(x) = \log_e(x)$ responde "¿qué potencia de $e$ da $x$?", es la inversa de $e^x$, con dominio $x > 0$ y rango todos los reales. Satisface $\ln(xy) = \ln(x) + \ln(y)$, $\ln(x/y) = \ln(x) - \ln(y)$, $\ln(x^r) = r\ln(x)$, $\ln(e) = 1$, y $\ln(1) = 0$. Analíticamente, $\ln(x) = \int_1^x (1/t)\,dt$ para $x > 0$, satisfaciendo $d/dx[\ln(x)] = 1/x$ como la única antiderivada de $1/x$ que envía $1$ a $0$; su extensión compleja es $\text{Ln}(z) = \ln|z| + i\,\text{Arg}(z)$ para $z \in \mathbb{C}$ excluyendo los reales no positivos.
Example
$\ln(e) = 1$ porque $e^1 = e$, $\ln(e^3) = 3$, y $\ln(1) = 0$ porque $e^0 = 1$. Para resolver $e^{2x} = 10$, toma $\ln$ de ambos lados: $2x = \ln(10) \approx 2.303$, así que $x \approx 1.151$; encontrar el tiempo de duplicación para un crecimiento continuo del $8\%$ da $T_d = \ln(2)/0.08 \approx 8.66$ años. La aproximación de Stirling, $n! \approx \sqrt{2\pi n} \cdot (n/e)^n$, tomando el logaritmo natural se convierte en $\ln(n!) \approx n\ln(n) - n + (1/2)\ln(2\pi n)$, derivada usando $\ln(n!) = \sum \ln(k) \approx \int_1^n \ln(t)\,dt$.
Key Insight
El número $e$ es la base que hace el cálculo más simple, y el logaritmo natural aparece constantemente en la ciencia porque la derivada de $\ln(x)$ es simplemente $1/x$, el resultado más limpio posible; aparece en fórmulas para el interés compuesto continuo, el crecimiento y decaimiento exponencial, la entropía en teoría de la información, y distribuciones de probabilidad como la log-normal. El logaritmo natural es "natural" porque es el único logaritmo cuya derivada en $1$ es igual a $1$: todos los demás logaritmos difieren de él por un factor de escala constante, $\ln(b)$, lo cual lo convierte en la elección canónica en análisis.