Eventos Mutuamente Excluyentes
Los eventos mutuamente excluyentes no pueden ocurrir al mismo tiempo; si uno sucede, el otro no puede suceder.
Formula
P(A \text{ or } B) = P(A) + P(B) \quad [\text{when } A \text{ and } B \text{ are mutually exclusive}]
Definition
Los eventos mutuamente excluyentes no pueden suceder al mismo tiempo: si uno ocurre, el otro definitivamente no. Dos eventos $A$ y $B$ son mutuamente excluyentes (o disjuntos) si no comparten resultados, $A \cap B = \emptyset$, y para eventos mutuamente excluyentes $P(A \text{ or } B) = P(A) + P(B)$, una regla que se extiende a cualquier número de ellos. Formalmente, la exclusividad mutua implica $P(A \cap B) = 0$, y por el axioma de aditividad $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$; una partición de $\Omega$ es una colección de eventos mutuamente excluyentes y exhaustivos por pares cuyas probabilidades suman $1$.
Example
Al lanzar un dado, "sacar un $3$" y "sacar un $5$" son mutuamente excluyentes ya que solo puedes sacar un número a la vez, así que $P(3 \text{ or } 5) = P(3) + P(5) = 1/6+1/6 = 1/3$. Al sacar una carta, "sacar un corazón" y "sacar una espada" también son mutuamente excluyentes: $P(\text{heart or spade}) = 13/52+13/52 = 1/2$. La ley de la probabilidad total establece que para una partición $\{B_1, \ldots, B_k\}$ de $\Omega$, $P(A) = \sum P(A|B_i)P(B_i)$, descomponiendo $P(A)$ en las contribuciones de cada elemento de la partición cuando el cálculo directo es difícil.
Key Insight
Cuando los eventos son mutuamente excluyentes, simplemente puedes sumar sus probabilidades; los eventos mutuamente excluyentes y los eventos independientes son conceptos diferentes, ya que los eventos mutuamente excluyentes no pueden suceder ambos mientras que los eventos independientes no se influyen entre sí, y de hecho, si $P(A) > 0$ y $P(B) > 0$, los eventos mutuamente excluyentes no pueden ser independientes. La exclusividad mutua es en realidad una condición más fuerte que la independencia: los eventos mutuamente excluyentes con probabilidades distintas de cero son siempre negativamente dependientes, ya que saber que uno ocurrió hace imposible al otro.