分数乘法
fēn shù chéng fǎ
分数乘法是把分子相乘、分母相乘，然后化简结果。
Formula
\left(\frac{a}{b}\right) \times \left(\frac{c}{d}\right) = \frac{ac}{bd}
Definition
要把两个分数相乘，把分子相乘作为新的分子，把分母相乘作为新的分母，不需要公分母，直接横着相乘即可。$a/b$和$c/d$的积是$(ac)/(bd)$，先化简一下会有帮助，即约去分子和分母之间的公因数（交叉约分），这样可以避免出现很大的数字，也减少了乘完之后再化简的需要。形式上，$\mathbb{Q}$中的乘法定义为$[a/b] \times [c/d] = [ac/bd]$，验证这一定义不依赖于代表元的选取，再结合加法结构，正是$\mathbb{Q}$成为域的原因。
Example
$2/3 \times 3/4 = (2 \times 3)/(3 \times 4) = 6/12 = 1/2$；你也可以先交叉约分，$3$相互约掉，直接得到$2/4 = 1/2$。对于$(7/15) \times (10/21)$：$7$和$21$有公因数$7$（$7/7=1$，$21/7=3$），$10$和$15$有公因数$5$（$10/5=2$，$15/5=3$），所以化简后的积是$(1 \times 2)/(3 \times 3) = 2/9$。对于$\mathbb{C}(x)$中的有理函数：$(x^2-1)/(x+3) \times (x+3)/(x-1) = (x^2-1)/(x-1) = (x+1)(x-1)/(x-1) = x+1$（当$x \neq 1$或$-3$时），这里的约分需要留意原函数的定义域。
Key Insight
数学中的"的"表示乘法："$3/4$的$1/2$"$= 1/2 \times 3/4 = 3/8$，把$0$到$1$之间的分数相乘，结果总是比原来任何一个分数都小，分数的分数会变得更小。分数乘法是算法上"最简单"的分数运算，不需要公分母，真正的难点在于记得化简，交叉约分只是运用结合律和交换律在相乘前重新排列因数。分数乘法的交换律和结合律都来自整数的相应性质，这正是从$\mathbb{Z}$构造$\mathbb{Q}$的力量所在：代数法则是被继承下来的，而不是从头重新证明的。