Multiplicación de Fracciones
Para multiplicar fracciones, se multiplican los numeradores entre sí y los denominadores entre sí, y luego se simplifica el resultado.
Formula
\left(\frac{a}{b}\right) \times \left(\frac{c}{d}\right) = \frac{ac}{bd}
Definition
Para multiplicar dos fracciones, multiplica los numeradores entre sí para obtener el nuevo numerador y los denominadores entre sí para obtener el nuevo denominador, no se necesita un denominador común, solo multiplicar en línea recta. El producto de $a/b$ y $c/d$ es $(ac)/(bd)$, y ayuda simplificar primero cancelando cualquier factor común entre un numerador y cualquier denominador (cancelación cruzada), evitando números grandes y reduciendo la necesidad de simplificar después. Formalmente, la multiplicación en $\mathbb{Q}$ se define como $[a/b] \times [c/d] = [ac/bd]$, y verificar que esto está bien definido sin importar el representante, junto con la estructura aditiva, es lo que hace de $\mathbb{Q}$ un cuerpo.
Example
$2/3 \times 3/4 = (2 \times 3)/(3 \times 4) = 6/12 = 1/2$; también puedes cancelar en cruz primero, los $3$ se cancelan, dando $2/4 = 1/2$ directamente. Para $(7/15) \times (10/21)$: $7$ y $21$ comparten el factor $7$ ($7/7=1$, $21/7=3$), y $10$ y $15$ comparten el factor $5$ ($10/5=2$, $15/5=3$), así que el producto simplificado es $(1 \times 2)/(3 \times 3) = 2/9$. Para funciones racionales en $\mathbb{C}(x)$: $(x^2-1)/(x+3) \times (x+3)/(x-1) = (x^2-1)/(x-1) = (x+1)(x-1)/(x-1) = x+1$ (para $x \neq 1$ o $-3$), donde la cancelación requiere cuidado sobre dónde están definidas las funciones originales.
Key Insight
"De" en matemáticas significa multiplicar: "$1/2$ de $3/4$" $= 1/2 \times 3/4 = 3/8$, y multiplicar fracciones entre $0$ y $1$ siempre da un resultado más pequeño que cualquiera de las dos fracciones, las fracciones de fracciones se hacen más pequeñas. Multiplicar fracciones es la operación "más fácil" algorítmicamente, no se requiere denominador común, la verdadera dificultad es recordar simplificar, y la cancelación cruzada es solo aplicar las leyes asociativa y conmutativa para reordenar factores antes de multiplicar. La conmutatividad y la asociatividad de la multiplicación de fracciones se derivan de las mismas propiedades de los enteros, que es el poder de construir $\mathbb{Q}$ a partir de $\mathbb{Z}$: las leyes algebraicas se heredan, no se vuelven a demostrar desde cero.