乘法逆元（倒数）
chéng fǎ nì yuán (dào shù)
一个数的乘法逆元（倒数）是与原数相乘能得到积为一的那个值。
Formula
a \times \left(\frac{1}{a}\right) = 1 \ (a \neq 0)
Definition
一个数的乘法逆元是它的倒数，即 $1$ 除以该数；一个数与它的倒数相乘永远得 $1$。对非零数 $a$，乘法逆元为 $1/a$（或 $a^{-1}$），满足 $a \times (1/a) = 1$；零没有乘法逆元，因为没有任何数与 $0$ 相乘能得到 $1$，除以 $b$ 等价于乘以 $b$ 的乘法逆元：$a/b = a \times (1/b)$。在域 $F$ 中，每个非零元素 $a$ 都有唯一的乘法逆元 $a^{-1}$，所有非零元素在乘法下构成单位群 $F^*$；在一般的环中，单位是拥有双边乘法逆元的元素，并非每个非零环元素都必须是单位。
Example
$4$ 的倒数是 $1/4$，因为 $4 \times 1/4 = 1$；$2/3$ 的倒数是 $3/2$。解方程 $5x = 12$，只需两边同乘以倒数 $1/5$：$x = 12/5$。在 $\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$（一个域）中，$3$ 的逆元是 $5$，因为 $3 \times 5 = 15 \equiv 1 \pmod 7$；扩展欧几里得算法可以求出这样的模逆元，被用于计算 RSA 的解密密钥。
Key Insight
求一个分数的倒数，只需把它上下颠倒；求一个整数的倒数，把它写成 $1$ 除以这个数即可。所有非零元素都存在乘法逆元，正是这一性质把域（如 $\mathbb{Q}$、$\mathbb{R}$、$\mathbb{C}$）与普通的环（如 $\mathbb{Z}$）区分开来，也正是这一性质使得除法（除以零之外）总是可行的。零没有逆元并非任意的规定：对任意 $x$ 都有 $0 \cdot x = 0 \neq 1$，因为 $0$ 在任何环的乘法下都具有吸收性，这就迫使除以零在任何自洽的数系中都必须是无定义的。