Inverso Multiplicativo
El inverso multiplicativo (recíproco) de un número es el valor que, multiplicado por el número original, da un producto igual a uno.
Formula
a \times \left(\frac{1}{a}\right) = 1 \ (a \neq 0)
Definition
El inverso multiplicativo de un número es su recíproco, $1$ dividido entre ese número; multiplicar un número por su recíproco siempre da $1$. Para un número $a$ distinto de cero, el inverso multiplicativo es $1/a$ (o $a^{-1}$), satisfaciendo $a \times (1/a) = 1$; el cero no tiene inverso multiplicativo, ya que ningún número multiplicado por $0$ da $1$, y dividir entre $b$ equivale a multiplicar por el inverso multiplicativo de $b$: $a/b = a \times (1/b)$. En un cuerpo $F$, todo elemento $a$ distinto de cero tiene un único inverso multiplicativo $a^{-1}$, y los elementos distintos de cero bajo la multiplicación forman el grupo de unidades $F^*$; en un anillo general, las unidades son elementos con un inverso multiplicativo bilátero, y no todo elemento distinto de cero de un anillo necesita ser una unidad.
Example
El recíproco de $4$ es $1/4$, ya que $4 \times 1/4 = 1$; el recíproco de $2/3$ es $3/2$. Resuelve $5x = 12$ multiplicando ambos lados por el recíproco $1/5$: $x = 12/5$. En $\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$ (un cuerpo), el inverso de $3$ es $5$, ya que $3 \times 5 = 15 \equiv 1 \pmod 7$; el algoritmo de Euclides extendido halla tales inversos modulares, usados en el cálculo de la clave de desciframiento de RSA.
Key Insight
Para hallar el recíproco de una fracción, se invierte; para hallar el recíproco de un número cabal, se escribe como $1$ sobre ese número. La existencia de inversos multiplicativos para todos los elementos distintos de cero es exactamente lo que distingue a un cuerpo (como $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$) de un simple anillo (como $\mathbb{Z}$), y es precisamente la propiedad que hace que la división sea siempre posible salvo entre cero. La falta de inverso del cero no es arbitraria: $0 \cdot x = 0 \neq 1$ para cualquier $x$, ya que $0$ absorbe bajo la multiplicación en cualquier anillo, lo cual obliga a que la división entre cero quede indefinida en todo sistema numérico consistente.