乘法单位元
chéng fǎ dān wèi yuán
乘法单位元是一：任何数乘以一都保持不变。
Formula
a \times 1 = a
Definition
乘法单位元是一：任何数乘以 $1$ 都保持不变。形式上，一个数系的乘法单位元是元素 $1$，满足对所有 $a$ 都有 $a \times 1 = 1 \times a = a$；在 $\mathbb{Z}$、$\mathbb{Q}$、$\mathbb{R}$、$\mathbb{C}$ 中，这个元素就是 $1$，在环中要求它与 $0$ 不同（零环除外），且它是唯一的。在有单位元的环中，单位群 $R^*$ 由拥有乘法逆元的元素组成；域则进一步要求每个非零元素都必须是单位。
Example
$8 \times 1 = 8$，$1 \times 254 = 254$：乘以 $1$ 永远是"什么都不做"的运算。在 $\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$ 中：$5 \times 1 = 5$；对矩阵而言，单位矩阵 $I$ 满足对所有适当大小的 $A$ 都有 $A \times I = I \times A = A$。在 $\mathbb{Z}$ 中，单位是 $R^* = \{1,-1\}$，而在 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 中，$R^*$ 是与 $n$ 互质的整数所构成的群，阶为 $\phi(n)$（欧拉函数）；费马小定理（对质数 $p$ 和不被 $p$ 整除的 $a$，$a^{p-1} \equiv 1 \pmod p$）正是把拉格朗日定理应用于这个阶为 $p-1$ 的群所得到的结果。
Key Insight
正如零是加法中"什么都不做"的数，一是乘法中"什么都不做"的数。乘法单位元是乘法的"单位"，拥有乘法逆元的元素被称为环的单位；在 $\mathbb{Z}$ 中，只有 $1$ 和 $-1$ 符合条件。单位群的结构，特别是 $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^*$，决定了模 $n$ 方程的解，并支撑着诸如费马小定理这样的结果。