Identidad Multiplicativa
La identidad multiplicativa es el uno: multiplicar cualquier número por uno lo deja sin cambio.
Formula
a \times 1 = a
Definition
La identidad multiplicativa es el uno: multiplicar cualquier número por $1$ lo deja sin cambio. Formalmente, la identidad multiplicativa de un sistema numérico es el elemento $1$ tal que $a \times 1 = 1 \times a = a$ para todo $a$; en $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$, y $\mathbb{C}$ este elemento es $1$, y se requiere en un anillo que sea distinto de $0$ (excepto en el anillo cero), y es único. En un anillo con unidad, el grupo de unidades $R^*$ está formado por los elementos que tienen un inverso multiplicativo; un cuerpo requiere además que todo elemento distinto de cero sea una unidad.
Example
$8 \times 1 = 8$ y $1 \times 254 = 254$: multiplicar por $1$ siempre es la operación que "no hace nada". En $\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$: $5 \times 1 = 5$, y para las matrices la matriz identidad $I$ satisface $A \times I = I \times A = A$ para toda $A$ del tamaño apropiado. En $\mathbb{Z}$, las unidades son $R^* = \{1,-1\}$, mientras que en $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$, $R^*$ es el grupo de enteros coprimos con $n$, con orden $\phi(n)$ (la función phi de Euler); el pequeño teorema de Fermat, $a^{p-1} \equiv 1 \pmod p$ para $p$ primo y $a$ no divisible entre $p$, se sigue del teorema de Lagrange aplicado a este grupo de orden $p-1$.
Key Insight
Así como el cero es el número que no hace nada para la suma, el uno es el número que no hace nada para la multiplicación. La identidad multiplicativa es la "unidad" de la multiplicación, y los elementos con inversos multiplicativos se llaman unidades de un anillo; en $\mathbb{Z}$, solo $1$ y $-1$ califican. La estructura del grupo de unidades, $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^*$ en particular, determina las soluciones a las ecuaciones módulo $n$ y sustenta resultados como el pequeño teorema de Fermat.