倍数
bèi shù
一个数的倍数是该数与任意正整数相乘所得到的积。
Definition
一个数的倍数是把它乘以 $1$、$2$、$3$、$4$……所得到的结果，也就是乘法表中的那些数；形式上，$n$ 的倍数构成集合 $\{n, 2n, 3n, 4n, \ldots\} = \{kn : k \text{ is a positive integer}\}$，这是一个公差为 $n$ 的等差数列，且 $n$ 是 $d$ 的倍数当且仅当 $d$ 是 $n$ 的因数。在 $\mathbb{Z}$ 中，集合 $n\mathbb{Z}$ 是由 $n$ 生成的主理想，也是 $(\mathbb{Z},+)$ 中由 $n$ 生成的子群，两个整数模 $n$ 同余当且仅当它们的差是 $n$ 的倍数。
Example
$4$ 的倍数是 $4, 8, 12, 16, 20, 24, \ldots$，即 $4\times1, 4\times2, 4\times3, \ldots$ 的结果；$4$ 的每一个倍数都能被 $4$ 整除。$4$ 和 $6$ 的公倍数是 $12, 24, 36, \ldots$，其中最小的是 $\text{LCM}(4,6) = 12$，所有公倍数都是这个最小公倍数的倍数。$4\mathbb{Z}$ 与 $6\mathbb{Z}$ 的交集是 $12\mathbb{Z}$（即 $\text{LCM}(4,6)=12$ 的倍数），而它们的和 $4\mathbb{Z} + 6\mathbb{Z} = 2\mathbb{Z}$（即 $\text{GCD}(4,6)=2$ 的倍数），这体现了贝祖等式。
Key Insight
$4$ 的每一个倍数都能被 $4$ 整除，倍数与因数是一对相反的概念：若 $4$ 是 $20$ 的因数，那么 $20$ 就是 $4$ 的倍数。$n$ 的所有倍数（包括负整数和零）在环 $\mathbb{Z}$ 中构成一个理想，最小公倍数和最大公约数分别对应理想的交集与和，这种代数解释把算术与环论统一起来，也解释了为什么对正整数 $a$、$b$ 而言 $\text{LCM} \times \text{GCD} = a \times b$。