Múltiplo
Un múltiplo de un número es el producto de ese número y cualquier entero positivo.
Definition
Un múltiplo de un número es lo que obtienes al multiplicarlo por $1$, $2$, $3$, $4$, y así sucesivamente, los números de una tabla de multiplicar; formalmente los múltiplos de $n$ son el conjunto $\{n, 2n, 3n, 4n, \ldots\} = \{kn : k \text{ is a positive integer}\}$, una progresión aritmética con diferencia común $n$, y $n$ es un múltiplo de $d$ si y solo si $d$ es un factor de $n$. En $\mathbb{Z}$, el conjunto $n\mathbb{Z}$ es el ideal principal generado por $n$, el subgrupo de $(\mathbb{Z},+)$ generado por $n$, y dos enteros son congruentes módulo $n$ si su diferencia es un múltiplo de $n$.
Example
Los múltiplos de $4$ son $4, 8, 12, 16, 20, 24, \ldots$, los resultados de $4\times1, 4\times2, 4\times3, \ldots$; todo múltiplo de $4$ se puede dividir exactamente entre $4$. Los múltiplos comunes de $4$ y $6$ son $12, 24, 36, \ldots$, siendo el menor $\text{LCM}(4,6) = 12$, y todos los múltiplos comunes son múltiplos del MCM. La intersección de $4\mathbb{Z}$ y $6\mathbb{Z}$ es $12\mathbb{Z}$ (múltiplos de $\text{LCM}(4,6)=12$), mientras que la suma $4\mathbb{Z} + 6\mathbb{Z} = 2\mathbb{Z}$ (múltiplos de $\text{GCD}(4,6)=2$), ilustrando la identidad de Bézout.
Key Insight
Todo múltiplo de $4$ se puede dividir exactamente entre $4$, y los múltiplos y los factores son opuestos: si $4$ es un factor de $20$, entonces $20$ es un múltiplo de $4$. El conjunto de todos los múltiplos de $n$ (incluyendo enteros negativos y el cero) forma un ideal en el anillo $\mathbb{Z}$, y el MCM y el MCD corresponden a la intersección y la suma de ideales respectivamente, una interpretación algebraica que unifica la aritmética con la teoría de anillos y explica por qué $\text{LCM} \times \text{GCD} = a \times b$ para enteros positivos $a$ y $b$.