Monomio
Un monomio es un polinomio con exactamente un término, formado por un coeficiente multiplicado por variables elevadas a potencias enteras no negativas.
Formula
a \cdot x^n
Definition
Un monomio es un polinomio formado por exactamente un término: un número, una variable, o un número multiplicado por una o más variables, cada una elevada a una potencia entera no negativa. Su grado es la suma de todos los exponentes de las variables en ese único término, y los monomios son los bloques de construcción individuales que se combinan para formar polinomios; al multiplicar monomios, los coeficientes se multiplican y los exponentes se suman, la regla del producto para exponentes aplicada directamente. En $n$ variables $x_1,\ldots,x_n$, un monomio es un producto $x_1^{a_1} \cdot x_2^{a_2} \cdot \ldots \cdot x_n^{a_n}$ (multiplicado por una constante), y los monomios forman una base para el anillo de polinomios $F[x_1,\ldots,x_n]$ como espacio vectorial sobre $F$; se necesita un orden monomial (como lex, grlex, o grevlex) para definir los términos principales y las bases de Gröbner de polinomios multivariados.
Example
$5$, $3x$, $-7x^2$, $4xy$, y $2x^3y^2$ son todos monomios, cada uno con exactamente un término y sin suma ni resta. $6x^2y^3$ tiene coeficiente $6$ y grado $2 + 3 = 5$; al multiplicar $(3x^2)(4x^3) = 12x^5$. En $F[x,y,z]$, el monomio $x^2yz^3$ tiene grado $6$, y bajo el orden lex con $x > y > z$, $x^2yz^3 > xy^4z^2$ porque el exponente de x ($2 > 1$) se compara primero.
Key Insight
"Mono" significa uno: un monomio tiene un término, un binomio tiene dos, y un trinomio tiene tres. Los órdenes monomiales se vuelven necesarios al pasar a varias variables, ya que definen cómo funcionan los algoritmos de división en los anillos de polinomios, permitiendo el cálculo de bases de Gröbner usadas para resolver sistemas de ecuaciones polinómicas.