带分数
dài fēn shù
带分数由一个整数和一个真分数组成，用来表示大于1的数量。
Formula
a\,\frac{b}{c} = \frac{ac + b}{c}
Definition
带分数由一个整数部分和一个分数部分组成，用来表示大于$1$的数量：例如，$2$又$3/4$表示$2$整个物体再加上另一个物体的$3/4$。形式上，带分数$n$又$a/b$（其中$0 \le a < b$）表示值$n + a/b$，$n$是非负整数，$a/b$是真分数；转化为假分数时，用整数乘以分母，再加上分子，分母保持不变：$(nb + a)/b$。这是有理数$q > 0$表示为$\lfloor q \rfloor + \text{frac}(q)$的标准形式，即取整函数加上$[0,1)$中的小数余项，这是对$q$的分子和分母应用带余除法算法的结果。
Example
如果你烤了$2$整盘布朗尼蛋糕，还剩下$1/2$盘，那么你有$2$又$1/2$盘，其中$2$是整数部分，$1/2$是分数部分。要计算$1$又$2/3 + 2$又$3/4$，先转化为假分数：$5/3 + 11/4$；用最小公分母$12$，即$20/12 + 33/12 = 53/12 = 4$又$5/12$，这比不转化直接相加要容易得多。连分数$[3; 2, 1, 4] = 3 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{1 + \frac{1}{4}}} = 3 + \cfrac{1}{2 + 4/5} = 3 + 5/14 = 47/14$，其中首项$3$正是带分数$3$又$5/14$的整数部分。
Key Insight
带分数在日常生活中很实用（"我跑了$3$英里半"），但假分数在计算时更方便，掌握两者之间的转换是一项关键的数学技能；在做带分数减法时，有时必须从整数部分"借位"，类似于减法中的重新分组，把$3$又$1/4$改写为$2$又$5/4$，再减去$1$又$3/4$。带分数的表示法对有理数是唯一的，但对一般实数则不然：对于实数而言，分解为整数部分和小数部分的做法是锯齿波定义的基础，并被用于傅里叶级数理论和等分布理论（外尔定理）之中。