中点公式
zhōng diǎn gōng shì
中点公式通过对两个已知点的坐标取平均，求出它们之间的正中心点。
Formula
M = \left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)
Definition
中点是一条线段的正中间那一点，通过对两个端点的x坐标取平均、y坐标也取平均求得：对于 $(x_1, y_1)$ 和 $(x_2, y_2)$，$M = ((x_1+x_2)/2, (y_1+y_2)/2)$，它到两个端点的距离相等，等价于位置向量的算术平均。更一般地，对于 $\mathbb{R}^n$ 中的点 $p, q$，中点公式就是仿射组合 $(1/2)p + (1/2)q$；把线段 $PQ$ 按 $m:n$ 之比分割的点，则是加权平均 $(nP + mQ)/(m+n)$；中点在仿射变换下保持不变，这正是三角形的重心（中线的交点，$G = (A + B + C)/3$）是一个仿射不变量的原因。
Example
$(2, 4)$ 和 $(8, 10)$ 的中点是 $x = (2+8)/2 = 5$，$y = (4+10)/2 = 7$，所以 $M = (5, 7)$，它到两个端点的距离相等。如果 $M = (3, 6)$ 是中点，且一个端点是 $A = (1, 2)$，另一个端点可以通过 $x_B = 2(3) - 1 = 5$，$y_B = 2(6) - 2 = 10$ 求得，即 $B = (5, 10)$，这种"反推中点"的技巧经常被考察。重心坐标把三角形内任意一点 $P$ 表示为加权平均 $P = \alpha A + \beta B + \gamma C$，其中 $\alpha + \beta + \gamma = 1$；中点公式只是一条线段的重心坐标 $(1/2, 1/2)$。
Key Insight
求中点就像分别对x和y取两个数的平均：它在两个方向上恒是两点之间的正中间，其实是加权平均的一个特例（从 $A$ 到 $B$ 走 $1/3$ 路程的点将是 $A + (1/3)(B - A)$）。重心坐标以及中点作为仿射不变量的角色，是计算几何和有限元方法中的基础思想。