Fórmula del Punto Medio
La fórmula del punto medio halla el punto exacto entre dos puntos dados en el plano cartesiano promediando sus coordenadas.
Formula
M = \left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)
Definition
El punto medio es el punto exacto en el centro de un segmento de recta, hallado promediando las coordenadas x y promediando las coordenadas y de los dos extremos: para $(x_1, y_1)$ y $(x_2, y_2)$, $M = ((x_1+x_2)/2, (y_1+y_2)/2)$, equidistante de ambos extremos y equivalente a la media aritmética de los vectores de posición. De manera más general, la fórmula del punto medio es la combinación afín $(1/2)p + (1/2)q$ para puntos $p, q$ en $\mathbb{R}^n$, y el punto que divide un segmento $PQ$ en razón $m:n$ es el promedio ponderado $(nP + mQ)/(m+n)$; los puntos medios se preservan bajo transformaciones afines, razón por la cual el centroide de un triángulo (la intersección de las medianas, $G = (A + B + C)/3$) es un invariante afín.
Example
El punto medio de $(2, 4)$ y $(8, 10)$ es $x = (2+8)/2 = 5$, $y = (4+10)/2 = 7$, así que $M = (5, 7)$, equidistante de ambos extremos. Si $M = (3, 6)$ es el punto medio y un extremo es $A = (1, 2)$, el otro extremo se halla mediante $x_B = 2(3) - 1 = 5$, $y_B = 2(6) - 2 = 10$, así que $B = (5, 10)$, una técnica de punto medio inverso que se evalúa con frecuencia. Las coordenadas baricéntricas expresan cualquier punto $P$ en un triángulo como un promedio ponderado $P = \alpha A + \beta B + \gamma C$ donde $\alpha + \beta + \gamma = 1$; la fórmula del punto medio es simplemente la coordenada baricéntrica $(1/2, 1/2)$ de un segmento.
Key Insight
Hallar el punto medio es como promediar dos números, hecho por separado para x y para y: siempre está exactamente a la mitad de camino entre los dos puntos en ambas direcciones a la vez, y en realidad es un caso especial de un promedio ponderado (el punto a $1/3$ del camino de $A$ a $B$ sería $A + (1/3)(B - A)$). Las coordenadas baricéntricas y el papel del punto medio como invariante afín son ideas fundamentales en geometría computacional y métodos de elementos finitos.