中位数
zhōng wèi shù
中位数是数据按顺序排列后位于正中间的值，把数据分成相等的两半。
Definition
中位数是把所有数据从小到大排列后位于正中间的值：一半的值低于它，一半的值高于它。当数据个数 $n$ 为奇数时，它是排序后第 $((n+1)/2)$ 个值；当 $n$ 为偶数时，它是排序后第 $(n/2)$ 个和第 $(n/2+1)$ 个值的平均值，它对异常值具有抵抗力。形式上，中位数是经验分布的第 $50$ 百分位数（$Q_2$）；作为总体位置的估计量，根据顺序统计量的渐近理论，样本中位数是一致的，且近似服从均值为 $\mu$、方差为 $1/(4nf(\mu)^2)$ 的正态分布，其中 $f(\mu)$ 是真实中位数处的概率密度值。
Example
身高 $58$、$60$、$62$、$65$、$70$ 英寸的中位数是 $62$，因为它位于正中间；对于偶数个数值（例如 $58$、$60$、$62$、$65$），中位数是中间两个值的平均：$(60+62)/2 = 61$。薪资（以千美元计）为 $40$、$45$、$48$、$52$、$55$、$60$、$500$，均值 $= 114.3$，但中位数 $= 52$，后者更能代表典型薪资，因为异常值（$500$）不会影响它。对于正态数据，中位数相对于均值的渐近相对效率（ARE）为 $2/\pi$，约等于 $0.637$，意味着在正态性成立的情况下，中位数需要约多 $57\%$ 的数据才能达到与均值相同的精度。
Key Insight
中位数不会被极大或极小的值所迷惑，这就是为什么房价和收入常常报告中位数，因为少数极高的值会使均值发生偏斜；它还使绝对离差和最小：$\sum |x_i - c|$ 在 $c = \text{median}$ 时取得最小值，这将它与 L1 优化和稳健统计联系起来。在重尾分布（例如均值并不存在的柯西分布）中，中位数是首选的位置度量，稳健统计正是建立在这一基础上：胡贝尔 M 估计量等估计量在均值和中位数的行为之间插值。