Mediana
La mediana es el valor central de un conjunto de datos ordenado, que divide los datos en dos mitades iguales.
Definition
La mediana es el valor central cuando todos los datos se ordenan de menor a mayor: la mitad de los valores están por debajo y la mitad por encima. Para un número impar de valores $n$, es el valor ordenado en la posición $((n+1)/2)$; para un número par, es la media de los valores ordenados en las posiciones $(n/2)$ y $(n/2+1)$, y es resistente a los valores atípicos. Formalmente, la mediana es el percentil $50$ ($Q_2$) de la distribución empírica; como estimador de la ubicación poblacional, la mediana muestral es consistente y se distribuye aproximadamente de forma normal con media $\mu$ y varianza $1/(4nf(\mu)^2)$ por la teoría asintótica de los estadísticos de orden, donde $f(\mu)$ es la función de densidad en la mediana verdadera.
Example
Las estaturas $58$, $60$, $62$, $65$, $70$ pulgadas tienen mediana $62$ porque está en el medio; para un número par de valores (por ejemplo, $58$, $60$, $62$, $65$), la mediana es el promedio de los dos valores centrales: $(60+62)/2 = 61$. Los salarios (en miles) de $40$, $45$, $48$, $52$, $55$, $60$, $500$ tienen media $= 114.3$ pero mediana $= 52$, que representa mejor el salario típico ya que el valor atípico ($500$) no la afecta. Para datos normales, la eficiencia relativa asintótica (ARE) de la mediana respecto a la media es $2/\pi$, aproximadamente $0.637$, lo que significa que la mediana requiere aproximadamente $57\%$ más datos para alcanzar la misma precisión que la media cuando se cumple la normalidad.
Key Insight
La mediana no se deja engañar por valores extremadamente grandes o pequeños, razón por la cual se reporta a menudo para los precios de vivienda y los ingresos, donde unos pocos valores muy altos sesgarían la media; también minimiza la suma de las desviaciones absolutas, $\sum |x_i - c|$ se minimiza cuando $c = \text{median}$, conectándola con la optimización L1 y la estadística robusta. En distribuciones de colas pesadas (por ejemplo, la de Cauchy, donde la media no existe), la mediana es la medida de ubicación preferida, y la estadística robusta se construye sobre esta idea: estimadores como el M-estimador de Huber interpolan entre el comportamiento de la media y el de la mediana.