均值
jūn zhí
均值是数据集的算术平均数，把所有值相加后除以个数得到。
Formula
\text{Mean} = \dfrac{\text{sum of all values}}{\text{number of values}}
Definition
均值（平均数）是把一组数值全部相加后除以数值个数所得到的数，代表一种"公平分摊"的值。形式上，算术平均数为 $\bar{x} = \frac{1}{n}\sum x_i$；它是最常见的集中趋势度量，但对异常值敏感，因为极端值会把它拉向自己。当数据服从正态分布时，均值也是总体均值 $\mu$ 的最大似然估计量，其抽样分布对正态数据而言恰好为 $\bar{x} \sim N(\mu, \sigma^2/n)$，对于任何方差有限的分布，当 $n$ 较大时则由中心极限定理近似成立。
Example
五名学生的测验分数分别为 $80$、$85$、$90$、$75$ 和 $70$，均值 $= (80+85+90+75+70)/5 = 400/5 = 80$。收入（以千美元计）为 $30$、$35$、$40$、$42$、$38$，以及一人收入 $200$，均值 $= (30+35+40+42+38+200)/6 = 385/6 = 64.2$，这并不能很好地代表大多数人的情况；此处中位数（$39$）更合适。除算术平均数外，几何平均数 $GM = \left(\prod x_i\right)^{1/n}$ 适用于增长率和比率，调和平均数 $HM = n / \sum (1/x_i)$ 适用于速率（例如平均速度），且对于正数据，不等式 $HM \le GM \le AM$ 恒成立。
Key Insight
均值就像把所有数值拉平，让每个人拥有相同的份额：如果你把不同大小杯子里的水都倒进相同大小的杯子，每个杯子的水位就是均值。它使离差平方和最小：$\sum (x_i - c)^2$ 在 $c = \bar{x}$ 时取得最小值，这一性质正是最小二乘回归的基础。詹森不等式将其推广：对凸函数 $\phi$，有 $\phi(E[X]) \le E[\phi(X)]$，这一结果支撑着概率论、信息论和经济学中的诸多成果。