Media
La media es el promedio aritmético de un conjunto de datos, obtenido sumando todos los valores y dividiendo entre la cantidad de ellos.
Formula
\text{Mean} = \dfrac{\text{sum of all values}}{\text{number of values}}
Definition
La media (promedio) es el número que se obtiene sumando todos los valores de un conjunto y dividiendo entre cuántos hay, representando un valor de "reparto justo". Formalmente, la media aritmética es $\bar{x} = \frac{1}{n}\sum x_i$; es la medida de centro más común pero es sensible a los valores atípicos porque los valores extremos la atraen hacia ellos. También es el estimador de máxima verosimilitud de la media poblacional $\mu$ cuando los datos se distribuyen normalmente, con distribución muestral $\bar{x} \sim N(\mu, \sigma^2/n)$ exactamente para datos normales y aproximadamente por el TLC para $n$ grande a partir de cualquier distribución con varianza finita.
Example
Cinco estudiantes que obtuvieron $80$, $85$, $90$, $75$, y $70$ en un examen tienen media $= (80+85+90+75+70)/5 = 400/5 = 80$. Los ingresos (en miles) de $30$, $35$, $40$, $42$, $38$, y una persona que gana $200$ dan media $= (30+35+40+42+38+200)/6 = 385/6 = 64.2$, lo cual no representa bien a la mayoría de las personas; la mediana ($39$) es más apropiada aquí. Más allá de la media aritmética, la media geométrica $GM = \left(\prod x_i\right)^{1/n}$ es apropiada para tasas de crecimiento y razones, la media armónica $HM = n / \sum (1/x_i)$ es apropiada para tasas (por ejemplo, velocidad promedio), y la desigualdad $HM \le GM \le AM$ se cumple para datos positivos.
Key Insight
La media es como nivelar todos los valores para que todos tengan la misma cantidad: si vertieras toda el agua de vasos de distintos tamaños en vasos iguales, el nivel de cada vaso sería la media. Minimiza la suma de las desviaciones al cuadrado, $\sum (x_i - c)^2$ se minimiza cuando $c = \bar{x}$, una propiedad que hace de la media el fundamento de la regresión por mínimos cuadrados. La desigualdad de Jensen generaliza esto: para una función convexa $\phi$, $\phi(E[X]) \le E[\phi(X)]$, sustentando resultados en la probabilidad, la teoría de la información y la economía.