矩阵
jǔ zhèn
矩阵是按行和列排列的数字矩形阵列,用于组织数据和执行变换。
Definition
矩阵是按行和列排列的数字网格，一个具有 $m$ 行 $n$ 列的矩形数组称为 $m \times n$ 矩阵，就像把一张电子表格中的数字打包成一个数学对象；第 $i$ 行第 $j$ 列的元素记作 $a_{ij}$。矩阵可以相加（若维数相同）、可以乘以标量，也可以相乘（若维数兼容），代表线性变换，所以乘积 $AB$ 表示先进行变换 $B$，再进行变换 $A$ 的复合，这正是矩阵乘法不满足交换律的原因。严格地说，域 $F$ 上的一个 $m \times n$ 矩阵是 $mn$ 维向量空间 $M_{m,n}(F)$ 中的一个元素，方阵集合 $M_n(F)$（对 $n \ge 2$ 是非交换的）构成一个环；每一个线性映射 $T: F^n \to F^m$ 相对于选定的基都对应一个 $m \times n$ 矩阵，若尔当标准形表明，每个复方阵都相似于一个"近似对角"的规范形式，编码了其特征值的重数。
Example
$2\times 3$ 矩阵 $\begin{bmatrix}1 & 2 & 3\\4 & 5 & 6\end{bmatrix}$ 有 $2$ 行 $3$ 列，第 $1$ 行第 $2$ 列的元素等于 $2$。对于 $A = \begin{bmatrix}2 & -1\\0 & 3\end{bmatrix}$（$2\times 2$）和 $B = \begin{bmatrix}1\\4\end{bmatrix}$（$2\times 1$），乘积 $AB$ 有定义，结果是一个 $2\times 1$ 矩阵。用可逆矩阵 $P$ 变换基，得到 $A \to P^{-1}AP$，这是一种相似变换，所以相似矩阵在不同的基下代表同一个线性映射。
Key Insight
矩阵能够紧凑地组织信息：一个方程组、一张道路网络，或者一张彩色图像，都可以表示成矩阵，这使矩阵成为数学中最通用的工具之一，矩阵乘法的不可交换性反映出变换的顺序很重要，先旋转再反射与先反射再旋转是不同的。若尔当标准形揭示了 $\mathbb{C}$ 上每一个线性变换的结构，若尔当块编码了特征值的几何重数和代数重数。