Matriz
Una matriz es un arreglo rectangular de números organizados en filas y columnas, usado para organizar datos y realizar transformaciones.
Definition
Una matriz es una cuadrícula de números organizados en filas y columnas, un arreglo rectangular con $m$ filas y $n$ columnas llamado una matriz $m \times n$, como una hoja de cálculo de números empaquetada en un solo objeto matemático; la entrada en la fila $i$, columna $j$ se denota $a_{ij}$. Las matrices pueden sumarse (si tienen las mismas dimensiones), multiplicarse por escalares, y multiplicarse entre sí (si las dimensiones son compatibles), representando transformaciones lineales, así que el producto $AB$ representa la composición de la transformación $B$ primero, luego $A$, razón por la cual la multiplicación de matrices no es conmutativa. Formalmente, una matriz $m \times n$ sobre un cuerpo $F$ es un elemento del espacio vectorial $M_{m,n}(F)$ de dimensión $mn$, y el conjunto $M_n(F)$ de matrices cuadradas forma un anillo (no conmutativo, para $n \ge 2$); toda aplicación lineal $T: F^n \to F^m$ corresponde a una matriz $m \times n$ respecto a bases elegidas, y la forma normal de Jordan muestra que toda matriz cuadrada compleja es similar a una forma canónica "casi diagonal" que codifica las multiplicidades de sus valores propios.
Example
La matriz $2\times 3$ $\begin{bmatrix}1 & 2 & 3\\4 & 5 & 6\end{bmatrix}$ tiene $2$ filas y $3$ columnas, con la entrada en la fila $1$, columna $2$ igual a $2$. Para $A = \begin{bmatrix}2 & -1\\0 & 3\end{bmatrix}$ ($2\times 2$) y $B = \begin{bmatrix}1\\4\end{bmatrix}$ ($2\times 1$), el producto $AB$ está definido y da un resultado $2\times 1$. Cambiar de base mediante una matriz invertible $P$ transforma $A \to P^{-1}AP$, una transformación de similitud, así que las matrices similares representan la misma aplicación lineal en distintas bases.
Key Insight
Las matrices organizan la información de manera compacta: un sistema de ecuaciones, una red de carreteras, o una imagen a color pueden representarse todas como matrices, haciéndolas una de las herramientas más versátiles de la matemática, y la no conmutatividad de la multiplicación de matrices refleja que el orden de las transformaciones importa, rotar y luego reflejar es distinto de reflejar y luego rotar. La forma normal de Jordan revela la estructura de toda transformación lineal sobre $\mathbb{C}$, con los bloques de Jordan codificando las multiplicidades geométrica y algebraica de los valores propios.