矩阵的维数（阶数）
jǔ zhèn de wéi shù (jiē shù)
矩阵的维数用行数乘以列数来描述矩阵的大小,记作 m x n。
Formula
m \times n \ (\text{rows} \times \text{columns})
Definition
矩阵的维数告诉你它有多少行、多少列，写作"行数 $\times$ 列数"：一个有 $m$ 行 $n$ 列的矩阵是 $m \times n$ 矩阵，共有 $m \times n$ 个元素。矩阵加法要求维数相同，而对于矩阵乘法 $A \times B$，$A$ 必须是 $m \times n$，$B$ 必须是 $n \times p$，结果的大小是 $m \times p$，内侧的维数必须匹配，外侧的维数则给出结果的大小。一个矩阵的秩（列空间的维数，等价于行空间的维数）至多是 $\min(m,n)$，秩-零度定理指出，对于用 $m \times n$ 矩阵表示的 $T: F^n \to F^m$，$\text{rank}(T) + \text{nullity}(T) = n$，把像与核的维数联系起来。
Example
一个有 $3$ 行 $2$ 列的矩阵 $\begin{bmatrix}1 & 2\\3 & 4\\5 & 6\end{bmatrix}$ 是 $3\times 2$ 矩阵，而 $\begin{bmatrix}7 & 8 & 9 & 10\end{bmatrix}$ 是 $1\times 4$ 矩阵。若 $A$ 是 $3\times 4$，$B$ 是 $4\times 2$，乘积 $AB$ 有定义（内侧维数 $4=4$ 匹配），得到一个 $3\times 2$ 矩阵，但 $BA$ 没有定义，因为内侧维数（$2$ 和 $3$）不匹配。一个 $4\times 3$、秩为 $2$ 的矩阵，其零度是 $3 - 2 = 1$：方程 $Ax = 0$ 的解空间是 $1$ 维的。
Key Insight
一个记忆技巧："行"在字母顺序上排在"列"之前，这也是陈述维数的正确顺序；乘法规则（$m \times n$ 乘 $n \times p$ 等于 $m \times p$）是矩阵代数中的关键约束。秩-零度定理类似于群论中的第一同构定理，$\dim(\text{domain}) = \dim(\text{image}) + \dim(\text{kernel})$，量化了一个线性映射所丢失的信息量。